GENEOs, compactifications, and graphs

Il nostro obiettivo in questa tesi è studiare la struttura pseudo-metrica e topologica dello spazio degli operatori di gruppo equivarianti non espansivi (GENEO). Introduciamo le nozioni di compattazione di una coppia di percezioni, suriettività collezionistica e compattazione di uno spazio di GENEO. Otteniamo alcuni risultati di compattazione per le coppie di percezione e lo spazio dei GENEO. Mostriamo che quando gli spazi di dati sono totalmente limitati e dotano i domini comuni di strutture metriche, le coppie di percezione e ogni spazio suriettivo di raccolta dei GENEO possono essere incorporati isometricamente in quelli compatti attraverso incorporamenti compatibili. Una parte importante dello studio della topologia dello spazio dei GENEO consiste nel popolarlo in modo ricco. Introduciamo la nozione di permutante generalizzato e dimostriamo che anche questo concetto, come quello di permutante, è utile per definire nuovi GENEO. Definiamo gli analoghi di alcuni dei suddetti concetti in un contesto di teoria dei grafi, consentendoci di utilizzare la potenza della teoria dei GENEO per lo studio dei grafi in modo efficiente. Definiamo le nozioni di coppia di percezione del grafo, permutante del grafo e GENEO del grafo. Sviluppiamo due modelli per la teoria dei grafi GENEO. Il primo modello si rivolge al caso di grafi aventi pesi assegnati ai vertici, mentre il secondo si rivolge a pesi sugli spigoli. Dimostriamo alcuni nuovi risultati nella proposta teoria dei grafi GENEO e mostriamo la potenza dei nostri modelli descrivendo le loro applicazioni allo studio strutturale di grafi semplici. Introduciamo il concetto di permutante del grafo e mostriamo che questo concetto può essere utilizzato per definire nuovi GENEO del grafo tra coppie distinte di percezione del grafo, consentendoci così di popolare lo spazio del grafo GENEO in modo ricco e fare più luce sulla sua struttura.