Incompressible limit and well-posedness of PDE models of tissue growth

Tra i modelli matematici per la crescita dei tessuti, ed in particolare per la crescita tumorale, sia modelli cosiddetti comprimibili sia modelli incomprimibili sono largamente utilizzati in letteratura. Passando al limite incomprimibile, i modelli comprimibili generano modelli a frontiera libera in cui si ha saturazione nel dominio. L’obiettivo della tesi è quello di analizzare il limite stiff pressure di equazioni del tipo reazione-convezione-diffusione degenere. Il primo lavoro riguarda l’analisi e la simulazione numerica di un modello che include la presenza di nutrienti. Un sistema di equazioni descrive l’evoluzione della densità cellulare e della concentrazione di nutrienti. In questo caso, la derivazione dell’equazione della pressione nel limite rappresentava un problema irrisolto, per il quale era necessario trovare la compattezza forte del gradiente della pressione. Al fine di dimostrarla, sono state utilizzate due tecniche: una versione L3 della celebre stima di Aronson e Bénilan, e una stima L4 ottimale sul gradiente della pressione. Inoltre, si è investigato numericamente l’ottimalità di questa stima utilizzando uno schema upwind alle differenze finite, che si dimostra essere stabile e asymptotic preserving. Il secondo lavoro si concentra sulle equazioni dei mezzi porosi che includono un termine di convezione. Sono state quindi estese le tecniche sviluppate nel modello con nutrienti e ricavata la relazione di complementarietà della pressione limite. Inoltre, viene fornita una stima della velocità di convergenza del limite incomprimibile. Infine, si analizza un modello multi-specie. In particolare, è stata presa in considerazione l’eterogeneità fenotipica, includendo una variabile strutturata nel modello. In questo caso, un sistema del tipo diffusione (degenere) incrociata descrive l’evoluzione delle distribuzioni fenotipiche. Adattando metodi recentemente sviluppati nel contesto di sistemi di due specie, si prova l’esistenza di soluzioni deboli e si passa al limite stiff. Inoltre, vengono forniti nuovi risultati di regolarità sulla pressione totale.